Краткое содержание каждой темы - Учебно-методический комплекс по дисциплине линейная алгебра для специальности
.RU

Краткое содержание каждой темы - Учебно-методический комплекс по дисциплине линейная алгебра для специальности




Краткое содержание каждой темы

^ 1. Множества. Бинарные отношения. Алгебраические операции

Понятие множества. Равные множества. Подмножество. Пустое множество. Операции над множествами. Основные свойства операций над множествами. Виды бинарных отношений: рефлексивное, симметричное, транзитивное. Отношение эквивалентности. Класс эквивалентности. Отношение порядка. Линейный порядок. Бинарные операции. Виды бинарных операций. Нейтральные, регулярные, симметричные элементы. Подмножества, замкнутые относительно операций. Аддитивная и мультипликативная форма записи алгебраических операций.

^ 2. Алгебраические структуры

Алгебра. Однотипные алгебры. Ранг операции. Тип алгебры. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр. Подалгебры.

Группы: определение, примеры. Абелева группа. Порядок группы. Мультипликативная и аддитивная форма записи групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизм и изоморфизм групп.

Кольцо: определение, примеры. Аддитивная группа кольца. Моноид. Область целостности. Простейшие свойства кольца. Подкольца. Понятие кольца многочленов от одного переменного над ненулевым коммутативным кольцом. Степень многочлена. Деление многочлена на двучлен и корни многочлена. Теорема о наибольшем возможном числе корней многочлена в области целостности. Алгебраическое и функциональное равенство много­членов. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий дели­тель. Алгоритм Евклида. Вычисление коэффициентов линейного выражения НОД.

Наименьшее общее кратное. Разложение многочлена в произведение неприводимых нормированных множителей. Целые и рациональные корни многочлена.

Поле: определение, примеры. Аддитивная группа поля. Подполе. Простое поле. Простейшие свойства поля. Поле комплексных чисел. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Сопряженные комплексные числа и их свойства. Геометрическое представление комплексных чисел. Модуль комплексного числа и его свойства. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение, деление и возведение комплексных чисел в тригонометрической форме. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа.

^ 3. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств

Системы линейных уравнений. Совместные и несовместные, определённые и неопределённые системы линейных уравнений. Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования систем. Метод последовательного исключения переменных. Однородные системы линейных уравнений.

Определители второго и третьего порядка. Метод Крамера решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными.

Матрица. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Обратимая матрица. Обратная матрица. Единственность обратной матрицы. Элементарные матрицы и их свойства. Леммы об обратимости квадратных матриц. Условия обратимости квадратной матрицы. Вычисление обратной матрицы. Запись и решение систем n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.

Подстановки. Группы подстановок. Четные и нечетные подстановки. Знак подстановки. Определитель квадратной матрицы: определения. Диагональная и треугольная матрицы и их определитель. Определитель матрицы с нулевой строкой. Основные свойства определителей: квадратной и транспонированной матриц, при перестановке двух строк, определитель матрицы с двумя одинаковыми строками (столбцами), умножение определителя на скаляр, сумма определителей, равенство определителя нулю, условие неизменности определителя.

Подматрица. Минор к-го порядка. Алгебраическое дополнение элемента матрицы. Леммы о вычислении определителя матрицы с помощью минора и алгебраического дополнения. Разложение определителя по строке или столбцу. Определитель произведения матриц. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.

Теорема о ранге матрицы, Присоединённая матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы. Правило Крамера. Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевое решение.

Строчечный и столбцовый ранг матрицы. Транспонированная матрица. Однородная система линейных уравнений. Теорема о столбцовом ранге всей однородной системы и укороченной. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Теорема о равносильности системы линейных уравнений и уравнения, выражающего векторную форму записи системы. Критерий совместности линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).

Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы. Теоремы о следствиях систем линейных уравнений.

Ступенчатые матрицы. Элементарные преобразования матрицы. Равенство строчечных рангов матрицы. Эквивалентность m x n - матрицы ступенчатой m x n - матрице. Теорема о строчечном ранге матрицы. Приведенные ступенчатые матрицы. Эквивалентность матрицы и приведённой ступенчатой матрицы.

Однородные системы линейных уравнений. Решения однородной системы линейных уравнений. Свойства фундаментальной системы решений.

Системы линейных неравенств: сопутствующая система, связь между решениями исходной и сопутствующей систем, решение системы путем последовательного уменьшения числа неизвестных. Противоречивое неравенство. Критерий несовместности системы. Следствия совместной системы.

^ 4. Конечномерные векторные пространства

Арифметическое векторное пространство. Действия над векторами арифметического векторного пространства. Свойства главных операций векторного пространства. Понятие векторного пространства. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств. Подпространства. Свойства подпространств.

Линейная комбинация и линейная оболочка системы век­торов. Линейная зависимость и независимость системы векторов.

Примеры. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Свойства эквивалентных систем векторов. Линейная зависимость и независимость системы векторов векторного пространства.

Базис конечной системы векторов арифметического векторного пространства. Теорема о существовании базиса. Базис векторного пространства. Теоремы о базисе векторного пространства. Базис подпространства. Дополнение независимой системы векторов до полного базиса.

Ранг конечной системы векторов арифметического векторного пространства. Свойства ранга системы векторов. Размерность векторного пространства. Свойства размерности. Сумма подпро­странств. Свойства суммы подпространств.

Координатная строка вектора относительно данного базиса. Определение изоморфизма одного векторного пространства на другое. Теорема об изоморфизме векторного пространства арифметическому векторному пространству, следствия из них. Свойства изоморфизмов векторных пространств. Теорема об условии изоморфности двух векторных пространств.

^ 5. Евклидовы пространства

Определение скалярного умножения в векторном пространстве. Невырожденное скалярное умножение. Свойство скалярного умножения двух векторов, один из которых – нулевой вектор. Определения ортогональных векторов, ортогональной системы векторов, ортогонального базиса пространства. Теорема о свойстве ортогональной системы ненулевых векторов с невырожденным скалярным умножением. Процесс ортогонализации. Ортогональные множества пространства, определение ортогонального подпространства к множеству. Ортогональное дополнение к подпространству (определение). Теорема о сумме подпространства и его ортогонального дополнения, следствия.

Определение евклидова пространства. Теорема об арифметическом векторном пространстве над полем R со стандартным скалярным умножением. Норма вектора: определение, свойства.

Ортонормированная система векторов и ортонормированный базис евклидова пространства: определения. Теорема об ортонормированном базисе конечномерного ненулевого евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса. Изоморфизм евклидова пространства и его свойства.

^ 6. Линейные операторы.

Определение линейного отображения, линейного оператора; примеры. Теорема о существовании единственного линейного отображения, переводящего базис одного пространства в векторы другого пространства; следствия. Определение ядра, дефекта, образа, ранга линейного оператора; свойство размерности векторного пространства. Операции над линейными отображениями. Матрица линейного оператора: определение. Векторные пространства линейных отображений и теоремы о них. Связь между координатными столбцами векторов X и γ(х) и их матрицами. Действия над линейными операторами.

Ранг линейного оператора. Матрица перехода от одного базиса к другому. Теорема об обратимости матрицы, перехода. Теоре­ма о связи координатных столбцов m(x) и m'(x) вектора x соответственно относительно первого и второго базисов; следствия. Теорема о связи матриц линейного оператора относительно различ­ных базисов. Подобные матрицы. Свойство отношения подобия матриц.

Собственные векторы и собственные значения оператора; примеры. Свойство собственных векторов линейного оператора. Нахождение собственных векторов линейного оператора.

Собственные значения и собственные векторы матрицы. Условие, при котором скаляр есть собственное значение матрицы. Характеристическое уравнение матрицы. Свойство характеристических уравнений подобных матриц. Характеристическое уравнение линейного оператора.

Свойство собственных векторов линейного оператора, имеющих различные собственные значения. Оператор с простым спектром, спектр оператора. Теорема о базисе векторного пространства, линейный оператор которого имеет в качестве собственных векторов систему единичных векторов, теорема о диагональной матрице оператора. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице.

^ 7. Квадратичные формы

Билинейные функции, их матрицы. Изменение матрицы билинейной функции при замене базиса. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа). Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Положительно определенная квадратичная форма, критерий Сильвестра.

^ 8. Векторы и линейные операции с ними

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Коллинеарные и компланарные векторы. Ориентация пары векторов на плоскости. Скалярное произведение векторов, его свойства. Формула скалярного произведения в координатах. Вычисление углов.

Ориентация тройки векторов в трехмерном пространстве. Векторное произведение, его свойства. Вычисление векторного произведения в координатах. Площадь параллелограмма и треугольника (в пространстве). Смешанное произведение. Критерий компланарности трех векторов. Объем параллелепипеда и пирамиды.

^ 9. Уравнения плоскости и прямой в пространстве

Нормальный и направляющий векторы прямой. Различные виды уравнения прямой на плоскости (векторное параметрическое, нормальное уравнения прямой, каноническое уравнение прямой, уравнение прямой через две точки, уравнение прямой с угловым коэффициентом). Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Нормальный вектор плоскости. Общее уравнение плоскости в пространстве. Векторное параметрическое и нормальное уравнения плоскости, запись уравнения с помощью смешанного произведения. Координатные формы уравнения плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости, угла между плоскостями, расстояния между параллельными плоскостями. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.

Угол между двумя плоскостями. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой и плоскости. Задание прямой как линии пересечения двух плоскостей.

^ 10. Кривые и поверхности 2-го порядка

Линии второго порядка на плоскости, заданные каноническим уравнением. Приведение уравнения линии второго порядка на плоскости к каноническому виду. Эллипс, гипербола, парабола. Асимптоты гиперболы. Касательная к эллипсу, гиперболе, параболе.

Поверхности второго порядка в трехмерном пространстве, заданные каноническим уравнением. Эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды. Цилиндрические поверхности и конус. Поверхности вращения. Упрощение уравнения поверхности (линии) второго порядка методом выделения квадратов и с помощью собственных векторов.

^ 11. Линейные задачи оптимизации

Понятие задачи оптимизации. Понятие об основных методах решения задач оптимизации (методы исследования функций классического анализа; методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа; вариационное исчисление; динамическое программирование; принцип максимума; линейное программирование; нелинейное программирование). Общая задача линейного программирования. Каноническая и стандартная форма задачи линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования: графический метод, угловые точки допустимого множества канонической задачи, обоснование и алгоритм симплекс-метода. Существование решения задачи линейного программирования. Алгоритм решения канонической задачи линейного программирования.


^ Учебно-тематический план



Тема лекции

Кол-во
часов

СРС




^ Раздел 1. Множества. Бинарные отношения. Алгебраические операции




1

Множества. Бинарные отношения. Алгебраические операции

2

7




^ Раздел 2. Алгебраические структуры







2

Понятие алгебры. Группы. Кольца. Поля

1

2




Кольцо многочленов от одной переменной

1

4

3

Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами

2

4




^ Раздел 3. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств




4

Понятие системы линейных уравнений. Метод Гаусса

1

2




Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Обратная матрица, методы ее вычисления. Решение систем уравнений в матричной форме

1

3

5

Понятие определителя квадратной матрицы, его свойства, способы вычисления. Метод Крамера решения системы линейных уравнений

1

3




Системы линейных неравенств: основные определения, методы решения

1

2




^ Раздел 4. Конечномерные векторные пространства




6

Арифметические n-мерные векторы и действия над ними. Арифметическое векторное пространство

1

1

7

Линейная зависимость и независимость системы векторов векторного пространства. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов

2

2




Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств

1

2




^ Раздел 5. Евклидовы пространства




8

Определение скалярного умножения векторов, его свойства. Ортогональный базис пространства. Процесс ортогонализации

2

5

9

Определение евклидова пространства. Ортонормированный базис евклидова пространства

2

5




^ Раздел 6. Линейные операторы




10

Определение линейного отображения, линейного оператора; примеры. Ядро, дефект, образ, ранг линейного оператора. Матрица линейного оператора. Теорема о связи матриц линейного оператора относительно различ­ных базисов

2

5

11

Собственные векторы и собственные значения оператора. Нахождение собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение линейного оператора.

2

5




^ Раздел 7. Квадратичные формы




12

Квадратичные формы

1

5




^ Раздел 8. Векторы и линейные операции с ними







Векторы и линейные операции с ними

1

5




^ Раздел 9. Уравнения плоскости и прямой в пространстве




13

Уравнения плоскости и прямой в пространстве

1

5




^ Раздел 10. Кривые и поверхности второго порядка







Кривые и поверхности второго порядка

1

5




^ Раздел 11. Линейные задачи оптимизации




14

Линейные задачи оптимизации

2

5




ИТОГО

28

77






^ Тема практического занятия

Кол-во
часов

СРС




Раздел 2. Алгебраические структуры




1

Группы. Кольца. Поля

1

5




Действия над многочленами и комплексными числами

1

5




^ Раздел 3. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств




2

Действия над матрицами. Вычисление определителей

1

5




Решение систем линейных уравнений и линейных неравенств

1

5




^ Раздел 4. Конечномерные векторные пространства




3

Действия над арифметическими векторами. Определение линейной зависимости и независимости системы векторов. Нахождение базиса системы векторов

2

5




^ Раздел 5. Евклидовы пространства




4

Ортогонализация системы векторов. Нахождение ортонормированного базиса пространства

2

10




^ Раздел 6. Линейные операторы




5

Матрица линейного оператора. Матрица перехода к другому базису. Собственные векторы, собственные значения, характеристическое уравнение линейного оператора

2

10




^ Раздел 7. Квадратичные формы




6

Квадратичные формы

2

5




^ Раздел 8. Векторы и линейные операции с ними




7

Векторы и линейные операции с ними

2

5




^ Раздел 9. Уравнения плоскости и прямой в пространстве




8

Уравнения плоскости и прямой в пространстве

2

5




^ Раздел 10. Кривые и поверхности второго порядка




9

Кривые и поверхности второго порядка

2

5




^ Раздел 11. Линейные задачи оптимизации




10

Линейные задачи оптимизации

2

10




ИТОГО

20

75



^ ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ

Содержание и порядок проведения текущего промежуточного контроля

1) На практических занятиях оценивается работа студентов у доски и на местах при самостоятельном выполнении упражнений. Критериями оценок являются познавательная активность студента при выполнении задания, наличие необходимых знаний и умений. Содержание заданий и упражнений определяется планом проведения практического занятия.

2) На каждом практическом занятии студенты получают задание на самостоятельную работу, цель которой закрепить отрабатываемые на занятии умения. Содержание этого задания определяется планом проведения практического занятия. Цель таких проверочных работ – обеспечить регулярное выполнение студентами самостоятельной работы по отработке практических умений по дисциплине.

3) Для контроля выработки практических умений и навыков студенты в течение каждого учебного семестра (5, 6, 7) выполняют одну внеаудиторную контрольную работу по темам:

– множества, бинарные отношения, алгебраические операции;

– группы, кольца, поля;

– действия над многочленами и комплексными числами;

– решение систем линейных уравнений и линейных неравенств

в 5 семестре;

– действия над матрицами, вычисление определителей;

–действия над арифметическими векторами, нахождение базиса системы векторов;

–ортогонализация системы векторов, нахождение ортонормированного базиса пространства;

– матрица линейного оператора, матрица перехода к другому базису, собственные векторы, собственные значения, характеристическое уравнение линейного оператора

в 6 семестре;

– векторы и линейные операции с ними;

– уравнения плоскости и прямой в пространстве;

– кривые и поверхности второго порядка

в 7 семестре.

Оцениваются контрольные работы по шкале: зачтено (если выполнено 75% работы и выше) / не зачтено (если выполнено менее 75% работы).

Содержание контрольных работ формируется из списка заданий для самостоятельной работы (см. ниже).


4) Учебным планом по специальности предусмотрено написание некоторыми студентами курсовой работы по линейной алгебре. Курсовая работа является индивидуальной, самостоятельно выполненной студентом работой выполняемой с целью:

- расширения знаний по определенному разделу дисциплины;

- систематизации знаний по смежным дисциплинам;

- выработки у студента навыков научно-исследовательской работы.

Выполнение курсовой работы предполагает консультационную помощь со стороны преподавателя и творческое развитие студентом темы и разделов курсовой работы.

Предлагаемая тематика охватывает широкий круг вопросов, поэтому структура каждой работы может уточняться студентом совместно с руководителем, исходя из научных интересов студента, степени проработанности данной темы в литературе, наличия информации и т.п.

По характеру аналитической и исследовательской деятельности курсовая работа может быть реферативно-теоретической или практической. Отличия заключаются в следующем: в курсовой работе реферативно-теоретического характера на основе сравнительного анализа изученной литературы рассматриваются теоретические основы темы, приводится история вопроса, показывается уровень разработанности проблемы в теории и практике; в курсовой работе практического характера кроме теоретических основ разрабатываемой темы представляются иллюстрации практического применения теоретических положений в каком-либо виде (выполнение расчетов, решение задач).

Подведение итогов подготовки курсовой работы включает следующие этапы:

- сдача курсовой работы на проверку руководителю;

- доработка курсовой работы с учетом замечаний руководителя;

- сдача готовой курсовой работы на защиту;

- защита курсовой работы, состоящая, как правило, в коротком докладе (8—10 мин) студента и ответах на вопросы по существу выполненной работы.

Оценка курсовой работы производится с учетом: содержания работы (обоснование актуальности работы, глубина раскрытия, наличие элементов новизны теоретического или практического характера, соответствие содержания работы теме, целям); результатов работы (правильность и полнота разработки проблемы, обоснованность сделанных выводов, значимость выводов для последующей практической деятельности, уровень самостоятельности обобщений и выводов); оформления работы (логичность, грамотность, соответствие стандартам); защиты работы (умение ориентироваться в исследуемой теме, умение правильно излагать свои мысли; умение аргументировано отвечать на вопросы); соблюдения студентом сроков сдачи курсовой работы.


Примерная тематика курсовых работ

  1. Алгебра бинарных отношений и отображений

  2. Отображения и фактор-множества

  3. Отношения эквивалентности

  4. Отношения порядка

  5. Формула Бине-Коши

  6. Полиномиальные матрицы

  7. Системы линейных неравенств

  8. Итерационные методы решения систем линейных уравнений

  9. Число действительных корней многочлена с действительными коэффициентами

  10. Основная теорема алгебры

  11. Основная теорема о симметрических многочленах

  12. Решение алгебраических уравнений в радикалах (история вопроса)

  13. Конечные поля

  14. Элементы теории конечных полей

  15. Неприводимые многочлены над конечными полями

  16. Числа Фибоначчи и их приложения

  17. Линейные группы

  18. Группы перестановок

  19. Конечные абелевы группы

  20. Элементы линейного программирования

  21. Дробно-линейное программирование

  22. Построение вещественных чисел по Дедекинду

  23. Связь между разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах и выполнимостью традиционных геометрических построений

  24. Вычисление корней действительного многочлена

  25. Квадратичные формы и квадрики

  26. Понятие бесконечности и бесконечные множества

  27. Алгебраические числа

  28. Парадоксы теории множеств

  29. Простые конечные группы

  30. Применение скалярного произведения к доказательству неравенств

  31. Аксиоматическое построение теории определителей.


Содержание и порядок проведения итогового контроля

Изучение материала 5 и 7 семестров завершается экзаменом, 6 семестра – зачетом. Цель зачета – систематизировать и актуализировать материал шестого семестра в той форме, в которой он будет перенесен на экзамен в седьмом семестре. Зачет выставляется студенту, посетившему все лекционные и практические занятия, имеющему полные конспекты по всем видам занятий и защитившему семестровую контрольную работу. На экзамене проверяется усвоение теоретического материала. Экзаменационный билет состоит из двух теоретических вопросов и проводится в соответствии с организационно-нормативными документами, действующими в вузе.


Примерный перечень вопросов к экзамену


  1. Множество. Операции над множествами и их свойства.

  2. Прямое произведение двух (нескольких) множеств.

  3. Бинарные отношения. Виды бинарных отношений.

  4. Алгебраические операции и их свойства.

  5. Понятие алгебры как множества с алгебраическими операциями.

  6. Метод математической индукции.

  7. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр.

  8. Понятие группы. Примеры групп.

  9. Простейшие свойства групп.

  10. Подгруппы.

  11. Понятие кольца Простейшие свойства кольца. Примеры колец.

  12. Подкольца.

  13. Поле, его простейшие свойства, примеры.

  14. Подполе. Свойство дробей.

  15. Понятие алгебраической системы как множества с операциями и отношениями.

  16. Поле комплексных чисел.

  17. Комплексные числа в алгебраической форме, операции над ними.

  18. Сопряжённые комплексные числа и их свойства.

  19. Модуль комплексного, числа и его свойства.

  20. Геометрическое представление комплексных чисел и операции над ними.

  21. Тригонометрическая форма комплексного числа.

  22. Операции над комплексными числами в тригонометрической фор­ме.

  23. Корни из комплексных чисел.

  24. Корни из единицы.

  25. Системы линейных уравнений, эквивалентные системы.

  26. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных.

  27. Матрицы. Виды матриц. Элементарные преобразования.

  28. Понятие определителя. Вычисление определителя порядка.

  29. Операции над матрицами, их свойства.

  30. Понятие обратной матрицы, элементарные матрицы.

  31. Условия обратимости матрицы. Вычисление обратной матрицы.

  32. Группа подстановок. Чётность и знак подстановки.

  33. Определитель квадратной матрицы. Основные свойства определителя.

  34. Миноры и алгебраические дополнения.

  35. Разложение определителя по строкам или столбцу.

  36. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя.

  37. Определитель произведения матриц.

  38. Теорема о ранге матрицы.

  39. Присоединенная матрица. Обратная матрица.

  40. Запись и решение n линейных уравнений с n переменными в матричной форме.

  41. Правило Крамера.

  42. Условия, при которых однородная система n линейных уравнений с n переменными имеет ненулевое решение.

  43. Арифметическое векторное пространство. Векторное пространст­во. Примеры. Подпространство и его свойства.

  44. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Линей­ная оболочка. Эквивалентные системы векторов.

  45. Базис и ранг системы векторов.

  46. Координаты вектора в данном базисе. Размерность векторного пространства.

  47. Векторная форма записи системы линейных уравнений. Условия совместимости системы линейных уравнений.

  48. Система однородных уравнений. Условия существования нетривиальных решений. Пространство решений системы однородных уравнений.

  49. Приведение матрицы к ступенчатому виду, вычисление ранта матрицы.

  50. Равенство строчечного и столбцового рангов малицы.

  51. Неоднородная система линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений.

  52. Изоморфизмы векторных пространств.

  53. Скалярное умножение в векторном пространстве.

  54. Евклидово векторное пространство.

  55. Ортогональная система векторов.

  56. Процесс ортогонализации.

  57. Ортогональное дополнение к подпространству.

  58. Норма вектора. Ортонормированный базис евклидова пространства

  59. Изоморфизмы евклидовых пространств.

  60. Линейные отображения и операторы.

  61. Связь между координатными столбцами векторов X и γ(х).

  62. Ранг линейного оператора.

  63. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов.

  64. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов.

  65. Собственные векторы и собственные значения.

  66. Нахождение собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение.

  67. Кольцо многочленов от одной переменной. Степень многочлена.

  68. Деление на двучлен (х - а) и корни многочлена.

  69. Наибольшее возможное число корней в области целостности.

  70. Алгебраическое и функциональное равенство многочленов.

  71. Теорема о делении с остатком.

  72. НОД. Алгоритм Евклида.

  73. НОК.

  74. Неприводимые над полем многочлены.

  75. Разложение многочлена в произведение нормированных неприводимых множителей и его единственность.

  76. Разложение многочлена по степеням (х - а). Формула Тейлора.

  77. Неприводимые кратные множители многочлена Кратные корни многочлена.

  78. Билинейные функции, их матрицы.

  79. Изменение матрицы билинейной функции при замене базиса.

  80. Симметрические билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа).

  81. Закон инерции квадратичных форм (формулировка).

  82. Положительно определенная квадратичная форма, критерий Сильвестра.

  83. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора.

  84. Коллинеарные и компланарные векторы.

  85. Ориентация пары векторов на плоскости. Скалярное произведение векторов, его свойства.

  86. Формула скалярного произведения в координатах. Вычисление углов.

  87. Ориентация тройки векторов в трехмерном пространстве. Векторное произведение, его свойства. Вычисление векторного произведения в координатах.

  88. Площадь параллелограмма и треугольника (в пространстве).

  89. Смешанное произведение.

  90. Критерий компланарности трех векторов.

  91. Объем параллелепипеда и пирамиды.

  92. Нормальный и направляющий векторы прямой.

  93. Различные виды уравнения прямой на плоскости (векторное параметрическое, нормальное уравнения прямой, каноническое уравнение прямой, уравнение прямой через две точки, уравнение прямой с угловым коэффициентом).

  94. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой.

  95. Нормальный вектор плоскости.

  96. Общее уравнение плоскости в пространстве. Векторное параметрическое и нормальное уравнения плоскости, запись уравнения с помощью смешанного произведения.

  97. Координатные формы уравнения плоскости.

  98. Вычисление расстояния от точки до плоскости, угла между плоскостями, расстояния между параллельными плоскостями.

  99. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.

  100. Угол между двумя плоскостями.

  101. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой в пространстве.

  102. Угол между двумя прямыми в пространстве. Расстояние от точки до прямой и плоскости.

  103. Задание прямой как линии пересечения двух плоскостей.

  104. Линии второго порядка на плоскости, заданные каноническим уравнением.

  105. Эллипс.

  106. Гипербола.

  107. Парабола.

  108. Эллипсоид.

  109. Параболоиды.

  110. Гиперболоиды.

  111. Цилиндрические поверхности и конус.

  112. Понятие задачи оптимизациии основных методах решения задач оптимизации.

  113. Общая задача линейного программирования.

  114. Каноническая и стандартная форма задачи линейного программирования.

  115. Графический метод решения задач линейного программирования.

  116. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

  117. Существование решения задачи линейного программирования.

  118. Алгоритм решения канонической задачи линейного программирования.



^ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Основная

  1. Венцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. -М.: Наука, 1980.

  2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – СПб., Лань, 2006

  3. Ильин В.А., Ким Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М. МГУ, 2008

  4. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. - М., ФИЗМАТЛИТ, 2005.

  5. Малугин В.А. Линейная алгебра. – М., ЭКСМО, 2006

  6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М., Наука, 1970.

  7. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. - М.: Наука, 1984

  8. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учеб пособие /Под ред. В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2007

  9. Солодовников А.С. Системы линейных неравенств. - М: Наука, 1978.

  10. Варпаховский Ф.Л., Солодовников А.С. Алгебра: Элементы теории множеств. Линейные уравнения и неравенства. Арифметические векторы. Матрицы и определители: Учебное пособие. - М.: Просвещение 1981

Дополнительная:

  1. Аоки М. Ведение в методы оптимизации. М.: Наука. 1977.

  2. Беклемишева Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре.- М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

  3. Варпаховский Ф.Л. и др. Алгебра – М.: МГЗПИ, 1978

  4. Васильев Ф.П., Иваницкий А.Ю. Линейное программирование. – М.: Факториал Пресс, 2003

  5. Винберг Э.Б. Алгебра многочленов. – М.: МГЗПИ, 1980

  6. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М., Наука, 1966

  7. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения, М., Наука, 1975

  8. Гольштейн Е.Г., Юдин Д.Б. Задачи линейного программирования транспортного типа. - M.: Наука, 1969

  9. Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1. – М.: «Издательство Оникс», 2006

  10. Ермаков В.И. Общий курс высшей математики для экономистов. – М.: ИНФРА-М, 2004

  11. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р.  Линейная алгебра и многомерная геометрия. М., Наука, 1974.

  12. Исследование операций в экономике. Под редакцией Н.Ш.Кремера. М., Юнити, 1999.

  13. Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М., Наука, 1987.

  14. Кострикин А.И., Манин Ю.А. Линейная алгебра. М.- ФИЗМАТЛИТ, 2000.

  15. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. – М.: Высшая школа, 1979

  16. Куликов Л.Я., Москаленко А.И., Фомин А.А. Сборник задач по алгебре и теории чисел. – М., Просвещение, 1993.

  17. Курош А.Г.Курс высшей алгебры. СПб., Лань, 2003

  18. Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике. – М.: Айрис-Пресс, 2007

  19. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. – М.: Наука, 1987

  20. Скорняков Л.А. Элементы линейной алгебры. Учебное пособие. - М.: Наука, 1980.

  21. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Задачи по высшей алгебре. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001

  22. Шевцов Г.С. Линейная алгебра. Учебное пособие. – М.: Гардарики, 1999

  23. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. ГосТехИздат, 1956.


Интернет-ресурсы

  1. http://www.nnspu.ru/Exponenta_Ru/soft/maple/student2/la/theme_ex1.asp.htm (Exponenta.ru математический сайт, задачи по курсу линейной алгебры)

  2. http://window.edu.ru/window/library?p_rid=50587 (учебное пособие: С.В. Лутманов Линейные задачи оптимизации)

  3. Электронные библиотеки по математике: www.4tivo.com/education/; www.matburo.ru/literat.php; www.plib.ru; http://nehudlit.ru; www.gaudeamus.omskcity.com; www.alleng.ru; www.symplex.ru; www.math.ru.


^ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ


Концепция целенаправленного развития у студентов готовности к самообразованию приводит к тому, что их самостоятельная деятельность, управляемая и организуемая, тесно смыкается с их образованием, которое является составной и закономерной частью целостной системы учебно-воспитательной работы.

В рамках указанной концепции на первый план выходит самостоятельная работа студентов, представленная как в рамках основных форм организаций учебного процесса (лекция, практические занятая), так и в части организации самостоятельной работы во внеурочное время.

Данная программа предусматривает разнообразные виды самостоятельных работ:

Первые два вида самостоятельных работ применяются непосредственно на учебных занятиях, и предназначены для подготовки студентов к более высокому уровню учебной деятельности. Такие виды самостоятельной учебной деятельности, как курсовая работа, предназначены для интеллектуального роста студентов

Для того, чтобы учебный процесс при данных условиях проходил наиболее эффективно, студентам с первых занятий необходимо вырабатывать и развивать у себя систему знаний и умений, которые отражают меру интеллектуального развития:

Для реализации приведенной системы знаний студентам предлагаются различные средства. В частности, «Методические ре­комендации к практическим занятиям и самостоятельной работе».

Помимо методических рекомендаций в печатном виде, для более успешной адаптации студентов преподаватель на каждом занятии проводит специальный инструктаж, который состоит из сле­дующих элементов:

Знания и умения, которые формируются у студентов в ходе изучения линейной алгебры достигают наибольшего эффекта при следующих основных условиях, эти условия могут быть созданы только при непосредственном участии и работе самих студентов.

  1. Четкое определение цели деятельности в смысле результата действий и цели упражнений (т.е. каких показателей действий надо достичь в процессе упражнений).

  2. Ясное представление техники выполнения действий, т.е. образца, которого следует достичь.

  3. Понимание правил и последовательности выполнения действий направленных на достижение целей.

  4. Постоянный самоконтроль качества действий путем сличения их результатов со сложившимися в представлении или по зрительно воспринимаемым образцам.

  5. Своевременное обнаружение отклонений и ошибок в действиях при следующих повторениях этих действий.

  6. Правильная самооценка успехов в достижении конкретной деятельности и цели упражнений в смысле совершенствования осваиваемых действий.

Следовательно, нужны, во-первых, система и последовательность упражнений; во-вторых, разумное их распределение во времени: в-третьих, необходима постоянная актуализация в самообразовательной деятельности студентов по переносу знаний и умений в новую ситуацию; в-четвертых, активизация опыта по решению задач и преобразования ранее усвоенных способов деятельности и др.

Организационно-управленческие умения, которые необходимы студентам для самостоятельной деятельности по алгебре, особенно во внеучебное время, и которые повышают готовность к самообразованию:

Лекции являются одним из основных методов обучения дисциплине, которые должны решать следующие задачи:

- изложить важнейший материал программы курса, освещающий основные моменты;

- развить у студентов потребность к самостоятельной работе над учебной и научной литературой.

Главной задачей каждой лекции является раскрытие сущности темы и анализ ее главных положений.

При подготовке к лекционным занятиям необходимо продумать план его проведения, содержание вступительной, основной и заключительной части лекции, по возможности ознакомиться с новинками учебной литературы, публикациями периодической печати по теме лекционного занятия, с целью более глубокого и аргументированного обоснования тех или иных теоретических положений и выводов. Определить средства материально-технического обеспечения лекционного занятия и порядок их использования в ходе чтения лекции. Уточнить план проведения практического занятия по теме лекции.

Рекомендуется на первой лекции довести до внимания студентов структуру курса и его разделы, а в дальнейшем указывать начало каждого раздела, суть и его задачи, а, закончив изложение, подводить итог по этому разделу, чтобы связать его со следующим. Содержание лекций определяется рабочей программой курса. На первом занятии по линейной алгебре необходимо ознакомить студентов с порядком ее изучения, раскрыть место и роль дисциплины в системе наук, ее практическое значение, довести до студентов требования кафедры, ответить на вопросы.

В ходе лекционного занятия преподаватель должен назвать тему, учебные вопросы, ознакомить студентов с перечнем основной и дополнительной литературы по теме занятия. Во вступительной части лекции обосновать место и роль изучаемой темы в учебной дисциплине. Если читается не первая лекция, то необходимо увязать ее тему с предыдущей, не нарушая логики изложения учебного материала. Крайне желательно, чтобы каждая лекция охватывала и исчерпывала определенную тему курса и представляла собой логически вполне законченную работу. Лучше сократить тему, но не допускать перерыва ее в таком месте, когда основная идея еще полностью не раскрыта. Необходимо задавать по ходу изложения лекционного материала риторические вопросы и самому давать на них ответ. Это способствует активизации мыслительной деятельности студентов, повышению их внимания и интереса к материалу лекции, ее содержанию. Преподаватель должен руководить работой студентов по конспектированию лекционного материала, подчеркивать необходимость отражения в конспектах основных положений изучаемой темы, особо выделяя категориальный аппарат, а также формулировки и доказательства теорем и примеры, иллюстрирующие вышеозначенные факты. В заключительной части лекции необходимо сформулировать общие выводы по теме, раскрывающие содержание всех вопросов, поставленных в лекции. Объявить план очередного практического занятия, дать краткие рекомендации по подготовке студентов к нему. Определить место и время консультации для проработки неясных моментов, появившихся в ходе лекции. При подготовке к практическому занятию преподавателю необходимо уточнить план его проведения, систему задач, продумать формулировки и содержание учебных вопросов, выносимых на отработку. Завести рабочую тетрадь, в которой учитывать посещаемость занятий студентами и оценивать их работу в соответствующих баллах. Оказывать методическую помощь студентам в подготовке контрольных работ. В ходе практического занятия во вступительном слове раскрыть теоретическую и практическую значимость темы, определить порядок его проведения, время на отработку каждого учебного вопроса. Дать возможность выйти к доске всем желающим, а также предложить выступить тем студентам, которые по тем или иным причинам пропустили лекционное занятие или проявляют пассивность. Целесообразно в ходе обсуждения учебных вопросов задавать выступающим и аудитории дополнительные и уточняющие вопросы с целью выяснения уровня усвоения материала по существу обсуждаемых вопросов. Поощрять выступления с места в виде кратких дополнений и постановки вопросов выступающим и преподавателю. В заключительной части практического занятия следует подвести его итоги: дать объективную оценку выступлений каждого студента и учебной группы в целом. Раскрыть положительные стороны и недостатки проведенного семинарского занятия. Ответить на вопросы студентов. Назвать тему очередного занятия.

После каждого лекционного и практического занятия сделать соответствующую запись о посещаемости занятий студентами. Проводить групповые и индивидуальные консультации студентов в ходе их подготовки к экзамену.


^ СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИЙ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ СРС

Раздел 1. Множества. Бинарные отношения. Алгебраические операции (2 ч.)

Лекция 1. (2 ч.) Множества. Бинарные отношения. Алгебраические операции

  1. Понятие множества, равные множества, подмножество, операции над множествами и их основные свойства

  2. Понятие бинарного отношения. Виды бинарных отношений: рефлексивное, симметричное, транзитивное. Отношение эквивалентности, класс эквивалентности

  3. Бинарные операции их виды. Нейтральные, регулярные, симметричные элементы. Подмножества, замкнутые относительно операций

Литература: [3д], [15].

Задание для СРС (7 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Ответить на вопросы: конечно ли множество всех собственных подмножеств множества N? Верно ли, что , в каком случае ? Почему действие, выполняемое по правилу , не является бинарной операцией на множестве N и является таковой на множестве Z?

3. Приведите три примера бинарных отношений на множестве N, удовлетворяющих поочередно только одному из свойств рефлексивности, симметричности и транзитивности.


Примечание. [3д] в разделе Литература означает, что следует воспользоваться пособием под номером 3 из списка дополнительной литературы, приведенного выше.


Раздел 2. Алгебраические структуры (4 ч.)

Лекция 2. (2 ч.) Понятие алгебры. Группы. Кольца. Поля. Кольцо многочленов от одной переменной.

  1. Понятие алгебры, однотипные алгебры, ранг операции, тип алгебры, гомоморфизм и изоморфизм алгебр, подалгебры

  2. Группы: определение, примеры; абелева группа. Мультипликативная и аддитивная форма записи групп. Простейшие свойства групп. Гомоморфизм и изоморфизм групп

  3. Кольцо: определение, примеры, простейшие свойства кольца. Понятие кольца многочленов от одной переменной

  4. Поле: определение, примеры. Подполе. Простейшие свойства поля

Литература: [3д], [5д],[13], [15], [16], [20].

Задание для СРС (6 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Покажите, что система положительных чисел с операцией сложения не изоморфна системе неотрицательных чисел с операцией сложения.


Лекция 3. (2 ч.) Поле комплексных чисел. Действия над комплексными числами

  1. Поле комплексных чисел

  2. Алгебраическая форма записи комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

  3. Геометрическое представление комплексных чисел

  4. Тригонометрическая форма комплексного числа

  5. Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме, корни n-й степени из произвольного комплексного числа

Литература: [3д], [13], [15], [16], [20].

^ Задание для СРС (4 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Докажите основные свойства комплексно сопряженных чисел.

3. При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел равен сумме модулей слагаемых?


Раздел 3. Матрицы и определители. Системы линейных уравнений. Системы линейных неравенств (4 ч.)

Лекция 4. (2 ч.) Понятие системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Понятие матрицы. Виды матриц. Действия над матрицами. Обратная матрица, методы ее вычисления. Решение систем уравнений в матричной форме

  1. Системы линейных уравнений: совместные и несовместные, определённые и неопределённые, равносильные. Понятие об элементарных преобразованиях

  2. Метод последовательного исключения переменных (Гаусса) решения систем линейных уравнений

  1. Понятие матрицы, действия над матрицами, свойства операций над матрицами. Обратная матрица и способы ее вычисления

  2. Решение систем уравнений в матричной форме

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [20], [22].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Рассмотреть все возможные случаи, встречающиеся при решении систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, и в каждом случае дать геометрическую интерпретацию данной системы уравнений.

3. Докажите, что если в матрице А поменять местами два столбца, а в матрице В – две строки с теми же номерами, то произведение АВ не изменится.


Лекция 5. (2 ч.) Понятие определителя квадратной матрицы, его свойства, способы вычисления. Метод Крамера решения системы линейных уравнений Системы линейных неравенств: основные определения, методы решения.

  1. Понятие подстановки и ее знак. Определение определителя квадратной матрицы. Основные свойства определителей. Практический прием вычисления определителей произвольного порядка

  2. Понятие о ранге матрицы, строчечный и столбцевой ранг

  3. Метод Крамера решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными

  4. Системы линейных неравенств, методы решения

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [9], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [20], [22].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Рассмотреть все возможные случаи, встречающиеся при решении систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными, и в каждом случае дать геометрическую интерпретацию данной системы уравнений.

3. Докажите, что если в матрице А поменять местами два столбца, а в матрице В – две строки с теми же номерами, то произведение АВ не изменится.


Раздел 4. Конечномерные векторные пространства (4 ч.)

Лекция 6. (2ч.) Арифметические n-мерные векторы и действия над ними. Арифметическое векторное пространство. Линейная зависимость и независимость системы векторов векторного пространства

  1. Понятие арифметического вектора, действия над векторами. Арифметическое векторное пространство

  2. Понятие векторного пространства. Примеры векторных пространств. Простейшие свойства векторных пространств, подпространства

  3. Линейная комбинация и линейная оболочка системы век­торов

  4. Линейная зависимость и независимость системы векторов

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [3д], [6д], [7д], [10], [11], [14], [15], [20], [23].

Задание для СРС (2 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Отыскать в литературе и выписать свойства главных операций векторного пространства и подпространств векторного пространства с доказательствами.

3. Что означает линейная зависимость в случае, когда система состоит из одного вектора? Из двух векторов?


Лекция 7. (2ч.) Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов. Базис и размерность векторного пространства. Изоморфизм векторных пространств


  1. Свойства линейной зависимости и независимости системы векторов. Эквивалентные системы векторов. Линейная зависимость и независимость системы векторов векторного пространства

  2. Базис конечной системы векторов арифметического векторного пространства. Базис векторного пространства

  3. Ранг конечной системы векторов арифметического векторного пространства. Размерность векторного пространства

  4. Определение изоморфизма одного векторного пространства на другое. Теорема об условии изоморфности двух векторных пространств

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [3д], [6д], [7д], [10], [11], [14], [15], [20], [22], [23].

Задание для СРС (3 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Отыскать в литературе и выписать свойства эквивалентных систем векторов, ранга системы векторов, размерности с доказательствами; понятие суммы подпространств и ее свойства.

3. Покажите, что система векторов (1,1,1), (0,1,1), (1,0,1) есть базис пространства . Найдите координатные строки единичных векторов , , относительно этого базиса.


Раздел 5. Евклидовы пространства (4 ч.)

Лекция 8. (2 ч.) Определение скалярного умножения векторов, его свойства. Ортогональный базис пространства. Процесс ортогонализации

  1. Определение скалярного умножения в векторном пространстве, его свойства

  2. Определения ортогональных векторов, ортогональной системы векторов, ортогонального базиса пространства

  3. Процесс ортогонализации

  4. Понятие ортогонального дополнения к подпространству

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [3д], [6д], [7д], [10], [11], [14], [15], [20], [22], [23].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Вывести из свойств скалярного произведения, что каково ни было действительное число , найдутся два вектора такие, что .

3. Методом ортогонализации построить ортогональный базис подпространства, порожденного векторами .


Лекция 9. (2 ч.) Определение евклидова пространства. Ортонормированный базис евклидова пространства

  1. Определение евклидова пространства

  2. Теорема об арифметическом векторном пространстве над полем R со стандартным скалярным умножением. Норма вектора: определение, свойства.

  3. Ортонормированная система векторов и ортонормированный базис евклидова пространства

  4. Теорема об ортонормированном базисе конечномерного ненулевого евклидова пространства. Свойства ортонормированного базиса

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [3д], [6д], [7д], [10], [11], [14], [15], [20], [22], [23].

^ Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Дополните следующие системы векторов до ортонормированного базиса , .


Раздел 6. Линейные операторы (4 ч.)

Лекция 10. (2 ч.) Определение линейного отображения, линейного оператора; примеры. Ядро, дефект, образ, ранг линейного оператора. Матрица линейного оператора. Теорема о связи матриц линейного оператора относительно различ­ных базисов

  1. Понятие линейного отображения, линейного оператора, примеры

  2. Теорема о существовании единственного линейного отображения, переводящего базис одного пространства в векторы другого пространства

  3. Определение ядра, дефекта, образа, ранга линейного оператора

  4. Определение матрицы линейного оператора. Теорема о связи матриц линейного оператора относительно различ­ных базисов

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [20], [22].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Выясните, является ли преобразование линейным.

3. Линейное отображение пространства L задано матрицей в некотором базисе . Найти ядро и дефект отображения .


Лекция 11. (2 ч.) Собственные векторы и собственные значения оператора. Нахождение собственных векторов линейного оператора. Характеристическое уравнение линейного оператора.

  1. Собственные векторы и собственные значения оператора, примеры

  2. Свойство собственных векторов линейного оператора. Нахождение собственных векторов линейного оператора

  3. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Характеристическое уравнение матрицы

  4. Характеристическое уравнение линейного оператора

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [20], [22].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного отображения пространства над полем R, заданного в некотором базисе матрицей .


Раздел 7. Квадратичные формы (1 ч.)

Лекция 12. (1 ч.) Квадратичные формы

  1. Билинейные функции, их матрицы, изменение матрицы билинейной функции при замене базиса

  2. Симметрические билинейные и квадратичные формы

  3. Приведение квадратичной формы к каноническому (нормальному) виду методом выделения квадратов (алгоритм Лагранжа)

  4. Закон инерции квадратичных форм (формулировка). Положительно определенная квадратичная форма, критерий Сильвестра

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [20], [22].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Написать матрицу квадратичной формы

3. Приведите к каноническому виду квадратичную форму


Раздел 8. Векторы и линейные операции с ними (1 ч.)

Лекция 12. (1 ч.) Векторы и линейные операции с ними

  1. Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Координаты вектора. Коллинеарные и компланарные векторы

  2. Скалярное произведение векторов, его свойства. Формула скалярного произведения в координатах. Вычисление углов

  3. Ориентация тройки векторов в трехмерном пространстве. Векторное произведение, его свойства. Вычисление векторного произведения в координатах. Площадь параллелограмма и треугольника (в пространстве)

  4. Смешанное произведение. Критерий компланарности трех векторов. Объем параллелепипеда и пирамиды

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [17], [20], [22].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Решить задачи №№ 3.1.1. – 3.1.11 из пособия [17].


Раздел 9. Уравнения плоскости и прямой в пространстве (1 ч.)

Лекция 13. (1 ч.) Уравнения плоскости и прямой в пространстве

  1. Нормальный и направляющий векторы прямой

  2. Различные виды уравнения прямой на плоскости

  3. Расстояние от точки до прямой

  4. Нормальный вектор плоскости.

  5. Различные виды уравнения плоскости в пространстве

  6. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости в пространстве.

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [17], [20], [22].

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Используя литературу, проработать вопросы: угол между плоскостями, различные виды уравнений прямой в пространстве, расстояние от точки до прямой и плоскости, задание прямой как линии пересечения двух плоскостей.

3. Решить задачи №№ 4.2.16. – 4.2.36 из пособия [17].


Раздел 10. Кривые и поверхности второго порядка (1 ч.)

Лекция 13. (1 ч.) Кривые и поверхности второго порядка

  1. Линии второго порядка на плоскости, заданные каноническим уравнением

  2. Приведение уравнения линии второго порядка на плоскости к каноническому виду

  3. Эллипс

  4. Гипербола

  5. Парабола

  6. Поверхности второго порядка в трехмерном пространстве, заданные каноническим уравнением (эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды, цилиндрические поверхности и конус, поверхности вращения)

Литература: [2], [3], [4], [5], [6], [6д], [7д], [11], [13], [14], [15], [16], [17], [20], [22].

^ Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Используя литературу, проработать вопрос: упрощение уравнения поверхности (линии) второго порядка методом выделения квадратов и с помощью собственных векторов.

3. Решить задачи №№ 4.3.32., 4.3.62., 4.3.110., 5.5.11. из пособия [17].


Раздел 11. Линейные задачи оптимизации (2 ч.)

Лекция 14. (2 ч.) Линейные задачи оптимизации

  1. Понятие задачи оптимизации

  2. Понятие об основных методах решения задач оптимизации

  3. Общая задача линейного программирования. Каноническая и стандартная форма задачи линейного программирования

  4. Методы решения задач линейного программирования: графический метод, симплекс-метод

  5. Существование решения задачи линейного программирования

  6. Алгоритм решения канонической задачи линейного программирования

Литература: [1], [8], [1д], [4д], [5], [6д], [7д], [8д], [9д], [10д], [12д], [16], [17],

Задание для СРС (5 ч.):

1. Проработка и осмысление лекционного материала, работа с учебниками и учебными пособиями по лекционному материалу.

2. Используя литературу, проработать вопросы теории двойственности, понятие транспортной задачи линейного программирования и методы ее решения


^ ПЛАНЫ ПРОВЕДЕНИЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ


ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1. (2 ч.)


metodi-i-priemi-samoregulyacii-vipolnyaemie-pri-pomoshi-specialista-psihologa.html
metodi-i-proceduri-marketingovih-issledovanij-winword-excel.html
metodi-i-sposobi-polucheniya-predlagaemih-besed.html
metodi-i-sredstva-izmerenij-uchebnaya-programma-dlya-visshih-uchebnih-zavedenij-po-specialnosti-i-54-01-04-metrologicheskoe.html
metodi-i-sredstva-peredachi-informacii-v-novih-ustrojstvah-zheleznodorozhnoj-avtomatiki-i-telemehaniki.html
metodi-i-sredstva-povisheniya-kachestva-funkcionirovaniya-vetroenergeticheskih-ustanovok-v-rastenievodstve.html
  • notebook.bystrickaya.ru/kalendarnij-plan-uchebnih-zanyatij-po-discipline-tehnogennie-sistemi-i-ekologicheskij-risk-docent-mihajlichenko-k-yu.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/matroskin-matroskin-mou-karakokshinskaya-sosh-razrabotka-starshej-vozhatoj-hodirevoj-irini-germanovni.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/73-osobennosti-organizacii-i-metodiki-zanyatij-po-professionalnoj-podgotovke-pedagogika.html
  • obrazovanie.bystrickaya.ru/programma-disciplini-dppf08-prakticheskij-kurs-inostrannogo-yazika-programma-disciplini-dpp-f-08-prakticheskij.html
  • esse.bystrickaya.ru/programma-vstupitelnih-ispitanij-po-napravleniyu-podgotovki-nauchno-pedagogicheskih-kadrov-v-aspiranture-44-06-01-obrazovanie-i-pedagogicheskie-nauki.html
  • letter.bystrickaya.ru/novogodnyaya-skazka-v-zakopane.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sportivno-ozdorovitelnij-kompleks-lesnaya-skazka-ceni-dejstvitelni-s-5-po-8-marta-2010-g-8-marta-samij-zhenskij-den-v-godu.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/resheniya-vseh-sudov-pervoj-instancii-mogut-bit-obzhalovani-v-sude-vtoroj-instancii-ili-v-nadzornoj-instancii.html
  • institut.bystrickaya.ru/teoriya-izluchatelnih-i-bezizluchatelnih-perehodov-v-opticheskih-centrah-v-obemnih-i-nanorazmernih-kristallah-01-04-21-lazernaya-fizika.html
  • studies.bystrickaya.ru/biznes-i-okruzhayushaya-sreda.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/v-l-inozemcev-kandidat-s-1994-goda-i-doktor-s-1999-goda-ekonomicheskih-nauk-osnovatel-i-nauchnij-rukovoditel-s-1996-goda-avtonomnoj-nekommercheskoj-organizacii-centr-issledovanij-postindustrialnogo-obshestva.html
  • testyi.bystrickaya.ru/analiz-tekuchesti-kadrov.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/metodicheskie-rekomendacii-po-podgotovke-zadanij-shkolnogo-i-municipalnogo-etapov-vserossijskoj-olimpiadi-shkolnikov-po-istorii-2008-09-uch-goda-soderzhanie.html
  • predmet.bystrickaya.ru/rekomendacii-dlya-intervyuera-po-soderzhaniyu-intervyu-socialno-pravovoj-fakultet.html
  • lesson.bystrickaya.ru/modernizaciya-telefonnoj-seti-akkolskogo-rajona-akmolinskoj-oblasti.html
  • learn.bystrickaya.ru/globalnij-monitoring-monitoring.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-iv-cherez-pyatnadcat-let-p-n-petrov-balakirev-roman.html
  • teacher.bystrickaya.ru/eta-skazka-voznikla-v-ustnih-rasskazah-poka-ne-stala-istoriej-stranica-10.html
  • books.bystrickaya.ru/dalnevostochnij-ekonomicheskij-rajon-chast-3.html
  • uchitel.bystrickaya.ru/referat-n-s-laboratorii-epigenetiki-shkarupo-v-v-istoriya-razvitiya-i-sovremennie-problemi-medicinskoj-genetiki.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/rodion-yakovlevich-malinovskij-odin-iz-naibolee-yarkih-i-talantlivih-polkovodcev-velikoj-otechestvennoj-vojni-proshel-trudnij-i-slavnij-boevoj-put-v-pyati-vojnah.html
  • tests.bystrickaya.ru/materiali-tekushego-promezhutochnogo-i-itogovogo-kontrolya-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-discipline-nazvanie-upravlenie-dannimi.html
  • zadachi.bystrickaya.ru/proektirovanie-stroitelstva-ekspluatacionnoj-skvazhini-11-na-severo-pribrezhnoj-ploshadke-krasnodarskogo-kraya.html
  • letter.bystrickaya.ru/nastoyashij-dokument-soderzhit.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/konspekt-po-osobennoj-chasti-ugolovnogo-prava-rf-chast-24.html
  • essay.bystrickaya.ru/berlin-tekst-nastoyashej-knigi-pechataetsya-po-izdaniyu-knizhnogo-magazina-grad-kitezh-perevod-s-anglijskogo-knyazya-a-m-volkonskogo-1923-stranica-3.html
  • education.bystrickaya.ru/4-dekart-ego-uchenie-o-metode-1-uchenie-konfuciya.html
  • gramota.bystrickaya.ru/vvedenie-v-gipnoz-stranica-4.html
  • uchenik.bystrickaya.ru/analiz-teorii-zarabotnoj-plati-adama-smita.html
  • notebook.bystrickaya.ru/gosudarstvennij-nauchnij-centr-virusologii-i-biotehnologii-vektor-informacionnij-monitoring-epidemiologicheskoj-situacii-po-oovi-v-mire-i-rossii-byulleten-2.html
  • thescience.bystrickaya.ru/gosudarstvennaya-usluga-srednee-professionalnoe-obrazovanie-standarti-kachestva-gosudarstvennih-uslug-v-oblasti-zdravoohraneniya.html
  • assessments.bystrickaya.ru/elektrichestvo-i-avtomobilestroenie.html
  • university.bystrickaya.ru/glava-10-mezhdunarodnoe-trudovoe-pravo-yurisprudenciya-mezhdunarodnoe-pravo.html
  • urok.bystrickaya.ru/prodolnie-sili-pri-rastyazhenii-i-szhatii-postroenie-epyur-prodolnih-sil-kogda-k-sterzhnyu-prilozheni-po-koncam-dve-ravnie-protivopolozhno-napravlennie-sili-dejstv.html
  • predmet.bystrickaya.ru/spisok-sobak-zaregistrirovannih-na-mezhdunarodnuyu-vistavku-sobak-vseh-porod-fci-sasib-kubok-vinnici-2011.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.