.RU

Математическая логика - Аны с Новосибирской школой логики. Большой вклад в подготовке специалистов в этом направлении...



^ Математическая логика

в Институте математики (1968--2005)



Математическая логика в Казахстане возникла и активно развилась под влиянием Сибирского математического центра. Начальным толчком для её развития был переезд в 1968 году академика АН Казахской ССР А.Д.Тайманова в Алма-Ату из Новосибирска. В Казахском государственном университете была открыта кафедра математической логики, впоследствии объединённая с кафедрой высшей алгебры, в Институте математики и механики была создана лаборатория алгебры и математической логики на основе существовавшей до этого небольшой группы по теории чисел. Вместе с А.Д.Таймановым в Алма-Ату приехали А.И.Омаров и Н.Г.Хисамиев, которые недавно закончили аспирантуру в Новосибирске и защитили кандидатские диссертации. В это время интерес к математической логике был весьма большой, самые сильные студенты Казахского государственного университета специализировались по новой кафедре логики, по окончании которой направлялись для продолжения обучения в аспирантуру в Сибирский центр математической логики. Многие из них впоследствии защитили кандидатские и докторские диссертации.

В это время А.Д.Тайманов был директором Института математики и механики и одновременно академиком-секретарём отделения физико-математических наук АН Каз ССР. По инициативе А.Д.Тайманова и при поддержке ведущих специалистов логиков Москвы и Новосибирска в 1968 году в Алма-Ате была проведена первая Всесоюзная конференция по математической логике. Получив такой мощный толчок и продолжая получать всестороннюю помощь и поддержку со стороны сильного Сибирского научного центра, математическая логика в республике и в лаборатории Института математики и механики устойчиво развивалась и достигла в итоге высокого уровня. Активное участие в этом процессе принимали сам академик А.Д.Тайманов, а также академик Российской академии наук Ю.Л.Ершов, член-корреспондент РАН С.С.Гончаров и д.ф.-м.н. Е.А.Палютин, которые руководили работами аспирантов из Казахстана, в основном из Института математики и механики, а также из Карагандинского университета и ведущих вузов Восточного Казахстана. Они неоднократно приезжали читать лекции в Алма-Ату, давали научные консультации, ставили актуальные научные проблемы, заслушивали и обсуждали отдельные продвижения и полученные результаты на своих семинарах в Новосибирске, приглашали участвовать в конференциях, помогали публиковать научные работы. Итогом такого сотрудничества были кандидатские и докторские диссертации, защищённые логиками Казахстана в Новосибирских Спецсоветах.

Первыми сотрудниками лаборатории алгебры и математической логики были к.ф.-м.н. А.И.Омаров и к.ф.-м.н. Н.Г.Хисамиев. Впоследствии они стали докторами наук. Позже А.И.Омаров перешёл работать в Казахский государственный университет где долгое время заведовал кафедрой алгебры и логики. После возвращения академика А.Д.Тайманова в Новосибирск в 1970 году лаборатория была преобразована в группу алгебры и логики в составе лаборатории функционального анализа. В это время руководителем группы был Н.Г.Хисамиев, а её научным консультантом - академик А.Д.Тайманов. Во второй половине 70-х годов в лабораторию поступили работать А.Т.Нуртазин и М.М.Еримбетов, защитившие к этому времени кандидатские диссертации в Новосибирске под руководством А.Д.Тайманова.

В 1983 году на основе группы алгебры и логики, выросшей к тому времени до девяти человек, при активной поддержке А.Д.Тайманова, была вновь открыта лаборатория алгебры и математической логики, и руководителем этой лаборатории был приглашён М.Г.Перетятькин, защитивший к этому времени докторскую диссертацию в спецсовете Новосибирска. Вначале он работал по совместительству, а с 1986 года перешёл на полную ставку заведующего лабораторией алгебры и логики ИММ АН Каз ССР. В это время в лаборатории работали кандидаты физико-математических наук Н.Г.Хисамиев, К.Ж. Кудайбергенов и А.Т.Нуртазин. Впоследствии защитили кандидатские диссертации в сцецсоветах России сотрудники лаборатории Б.И.Омаров, Е.Р.Байсалов, К.М. Шегиров и другие. В конце 1990 года лаборатория была разделена на две части - лабораторию математической логики и лабораторию алгебры. В составе лаборатории математической логики в это время работали доктор наук М.Г. Перетятькин и кандидаты наук К.Ж.Кудайбергенов, С.А.Бадаев и К.М. Шегиров.

Со временем,сотрудники лаборатории стали защищать не только кандидатские, но также и докторские диссертации, преимущественно в спецсоветах России, где высокий уровень защищаемых работ поддерживается до сих пор. Бывший руководитель лаборатории Н.Г. Хисамиев в 1990 году, К.Ж. Кудайбергенов в 1992 году и С.А.Бадаев в 1999 году защищают свои докторские диссертации в Спецсовете Института математики г. Новосибирска.

За всё время существования лаборатории её сотрудники продемонстрировали высокий международный уровень проводимых исследований. Многократно выступали с пленарными докладами на Всесоюзных конференциях по математической логике, участвовали в работе многих Международных конгрессов, симпозиумов, конференций, представляя науку Казахстана. Высшим достижением как лаборатории так и Казахстанской математики является 45-минутный пленарный доклад М.Г.Перетятькина по приглашению на Международном конгрессе математиков в США в 1986 году. Признанием высокого научного уровня лаборатории явилась проведённая в 1990-м году на базе лаборатории логики 10-я Всесоюзная конференция по математической логике. Следует отметить любопытный факт, что как первая Всесоюзная конференция по математической логике, так и последняя 10-я Всесоюзная конференция по математической логике были проведены в Алма-Ате. В последующем такие конференции еще проводились в России, но под другим названием ввиду изменения статуса государств после распада СССР.

Направление научных исследований лаборатории включает многие актуальные вопросы логики, теории моделей и теории алгоритмов. Более, чем за 25 лет существования, лабораторией выполнен ряд научных исследований, получивших широкое признание. Ниже представлен ряд наиболее важных направлений с указанием результатов полученных сотрудниками лаборатории за время ее существования.

1. Топологические модели. А.Д.Тайманов, активно работавший в области дискриптивной теории множеств и топологии, старался применять методы этих наук в логике. Это направление было перспективным, здесь было много интересных вопросов. Одной из решаемых им проблем была задача описания бесконечных алгебраических систем, допускающих нетривиальную топологию. Тривиальной является дискретная топология, в которой все подмножества рассматриваемого пространства одновременно открыты и замкнуты, и поэтому любая функция непрерывна из тривиальных соображений. В общем случае проблема топологизации решается отрицательно: имеется пример алгебры с одной бинарной операцией, которая допускает только дискретную топологию. С другой стороны, в некоторых узких классах алгебр проблема топологизации решается положительно, например, нетривиальную топологизацию допускает любая группа. Одним из результатов А.Д.Тайманова в этом направлении является построенный им пример полугруппы, допускающей только дискретную топологию [1].

Таким образом, классы групп и полугрупп, близкие по их определению, контрастно различаются своими свойствами по отношению к возможным топологизациям.

2. Модели стабильных и суперстабильных теорий. Имеется открытый вопрос Вота о возможном числе счётных моделей счётной полной теории. Этот вопрос для некоторых классов теорий рассматривался Е.Р.Байсаловым. Ранее Шелахом был получен результат о том, что счётная суперстабильная теория может иметь только конечное или счётное число моделей, либо континуум таких моделей. Теорема Е.Р.Байсалова обобщает и усиливает этот результат Шелаха на некоторый класс теорий, строго расширяющий класс суперстабильных теорий [2]. Точное определение этого класса технически сложно и поэтому здесь опускается.

Выполнены исследования по теоретико-модельной классификации решёток. К.М. Шегировым исследовались теоретико-модельные свойства классов решёток ограниченной высоты и размерности, где высота определяется как максимум длин линейных цепей в решетке, а размерность есть минимальное число линейных порядков, пересечением которых является данный частичный порядок. В его совместной с К. Мейрембековым работе [3] доказано, что всякая решётка высоты 3 и размерности 3 является стабильной, но в классе решёток высоты 4 размерности 3 интерпретируется произвольный граф, и поэтому среди таких решёток есть нестабильные.

3. Конструктивные модели. Строение конструктивных моделей полной разрешимой несчётно категоричной теории исследовано в работе Н.Г. Хисамиева [4]. Показано, что все модели такой теории являются сильно конструктивизируемыми, более того, башня Морли всех моделей такой теории допускает представление в виде вычислимой последовательности вложенных сильно конструктивных моделей. С.С.Гончаровым и А.Т.Нуртазиным в 1973 году [5] были построены примеры полных разрешимых теорий с унарными предикатами, у которых счётные насыщенные модели не являются конструктивизируемыми, а простая модель может быть конструктивизируемой, либо не конструктивизируемой. В работе Л.Харрингтона 1975 года поставлена проблема существования конечно аксиоматизируемых теорий с аналогичными свойствами. В качестве решения этой проблемы в работе М.Г. Перетятькина [6] построены примеры полных разрешимых конечно аксиоматизируемых теорий, у которых простая модель и счётная насыщенная модели не являются конструктивизируемыми. Кроме того, построен более тонкий пример, когда простая модель полной конечно аксиоматизируемой теории является сильно конструктивизируемой, но не автоустойчивой, т.е. для этой теории множество атомных формул не является алгоритмически распознаваемым, и даже не является рекурсивно перечислимым.

4. Конструктивные абелевы группы. Известная в теории групп теорема Ульма утверждает, что каждая счётная редуцированная абелева $p$-группа $G$ однозначно, с точностью до изоморфизма определяется некоторой совокупностью числовых инвариантов



с некоторым техническим условием заполненности вниз, а также с условием, что величина , равная супремуму всех для ненулевых (называемая Ульмовым ординальным типом данной группы), должна быть не более, чем счётным ординалом. Ю.Л.Ершовым была поставлена задача: найти характеризацию конструктивных и сильно конструктивных редуцированных абелевых -групп по матрицам их Ульмовых инвариантов. Важность задачи Ю.Л. Ершова состоит в том, что из редуцированных абелевых -групп для разных и из периодических абелевых групп легко конструируются все абелевы группы.

В 1978 году в совместной работе Н.Г.Хисамиева, А.Т.Нуртазина и В.П. Добрицы [7] было доказано, что Ульмов ординальный тип любых конструктивных, и тем более сильно конструктивных, редуцированных абелевых групп необходимо должен быть конструктивным ординалом. Этот результат ограничивал второй ульмов индекс конструктивными ординалами для случая конструктивнух абелевых групп, и таким образом он представлял хорошую базу для решения общей проблемы Ершова.

В работе Н.Г.Хисамиева [8] решена общая задача Ю.Л.Ершова для случая произвольных конечных Ульмовых типов. В этой теореме условия на инварианты представляют собой некоторые алгоритмические процедуры с оракулом из -го класса арифметической иерархии.

Полученный Хисамиевым результат полностью описывает типы ульмовых матриц для которых соответствующие абелевы -группы конструктивизируемы и сильно конструктивизируемы. Точная формулировка технически сложна и поэтому здесь опускается. Теорема Хисамиева дает характеризацию конструктивизируемых и сильно конструктивизируемых абелевых групп. Она позволяет регулярным методом решать большинство естественных вопросов о конструктивных и сильно конструктивных абелевых группах для случаев произвольных конечных Ульмовых типов их редуцированных -компонент.

5. Структура и спектр однородных моделей. Понятие однородной модели появилось в конце пятидесятых - начале шестидесятых годов прошлого столетия и с тех пор привлекает внимание специалистов по теории моделей. Однородные модели изучались в работах Вота, Йонссона, Крэйга, Морли, Кейслера, Шелаха, Лахлана и многих других известных логиков. В этих работах были доказаны общие теоремы существования и единственности для однородных моделей, развита теория стабильности для класса однородных моделей, изучались теории, все несчетные модели которых однородны. Вместе с тем ряд важных проблем, касающихся однородных моделей оставался открытым.

Одним из важнейших вопросов в теории моделей является вопрос о функции спектра, т.е. функции, представляющей число моделей полной теории в различных мощностях. Этот же вопрос о спектре моделей важен также для классов моделей специального вида, например, для атомных или однородных. Такой вопрос о спектре однородных моделей долгое время оставался совершенно не изученным. В работе Кейслера и Морли 1967 года был поставлен ряд проблем о существовании полных теорий с заданными спектрами однородных моделей. Эти проблемы были решены К.Ж. Кудайбергеновым [9], в которой описаны возможные типы таких функций спектра. В частности, оказалось, что число однородных моделей полной счетной теории может резко убывать с возрастанием мощности, например, с континуума счетных однородных моделей до любого конечного числа однородных моделей в первой несчетной мощности.

Важным и интересным является также вопрос о структуре и спектре однородных моделей для класса стабильных теорий. В работе [10], К.Ж. Кудайбергеновым получены необходимые и достаточные условия, при которых стабильная теория имеет однородные модели сколь угодно больших мощностей с фиксированным семейством реализуемых типов. Это позволяет получить важную информацию о спектре однородных моделей стабильных теорий. Например, с помощью указанной теоремы К.Ж. Кудайбергеновым было доказано, что если счетная тотально трансцендентная теория имеет несчетное число однородных моделей в некоторой несчетной мощности, то эта теория имеет континуум однородных моделей в любой бесконечной мощности.

Для важного класса тотально трансцендентных немультиразмерностных теорий К.Ж. Кудайбергеновым в работе [11] для любого кардинала получено описание структуры однородных, -однородных, сильно -однородных, абсолютно однородных (т.е. -однородных для любого кардинала ) моделей в терминах размерностей сильно регулярных типов над простой моделью. Это позволило получить полное описание спектра однородных, -однородных, сильно -однородных, абсолютно однородных моделей тотально трансцендентных немультиразмерностных теорий. Кроме того, из упомянутого описания структуры однородных моделей следует, что если тотально трансцендентная теория, счетная или несчетная, является категоричной в больших мощностях, то все модели этой теории сильно -однородны. Нужно отметить, что в случае, когда теория является счетной, это утверждение дает известный результат Балдуина и Лахлана.

6. Однородные модели с точки зрения теории множеств. В работе К.Ж. Кудайбергенова [12] изучен вопрос об абсолютности понятия однородной модели с точки зрения стандартной аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля . По определению, свойство элементов модели теории множеств , представленное формулой первого порядка, является абсолютным, если оно инвариантно относительно генерических расширений моделей этой теории.

Пусть - модель некоторой теории первого порядка. Рассмотрим как элемент счетной транзитивной модели теории множеств . Исследовано поведение теоретико-модельного понятия однородности при генерических расширениях модели . Получены условия существования генерического расширения модели теории , в котором взятая модель становится неоднородной. В качестве следствия доказано, что если является несчетной -насыщенной -однородной моделью несуперстабильной теории для любого кардинала , то существует генерическое расширение модели , которое сохраняет кардиналы и в котором модель становится не однородной. Отсюда, в частности, следует, что понятие однородности не является абсолютным в теоретико-множественном смысле.

Далее, доказано, что для случая моделей нестабильных теорий понятие однородности является не абсолютным, и в некотором смысле, еще более далеким от абсолютности. Установлено, что в указанном выше результате нельзя убрать условие насыщенности, а также доказывается, что однородность и насыщенность являются неабсолютными по-разному. А именно, в некоторых генерических расширениях однородность сохраняется, а насыщенность нет. Вместе с тем доказано, что для более узкого класса тотально трансцендентных теорий понятие однородности модели этого класса абсолютно в теории множеств . Что касается моделей суперстабильных не тотально трансцендентных теорий, то для них иногда можно нарушить однородность в генерических расширениях, а иногда однородность таких моделей сохраняется в расширениях моделей .

7. Сильно однородные и гипероднородные модели. Большой интерес представляет изучение сильно однородных моделей, называемых также абсолютно однородными моделями. Так называется модель, в которой любое элементарное отображение между ее подмножествами продолжается до автоморфизма. В работе К.Ж. Кудайбергенова [13] построена абсолютно однородная модель весьма большой мощности, что опровергает гипотезу Шелаха о верхней границе мощностей абсолютно однородных моделей. Эта же самая модель служит контрпримером к гипотезе Кейслера и Морли о существовании элементарных расширений однородных моделей с тем же самым семейством реализуемых типов. Получена характеризация абсолютно однородных моделей стабильных теорий, которая используется для вывода конкретных результатов.

Также представляет интерес класс гипероднородных моделей, который является подклассом класса сильно однородных моделей. Модель называется гипероднородной, если любой изоморфизм между ее подмоделями продолжается до автоморфизма всей модели. В работе Морли был поставлен следующий вопрос: влечет ли существование одной гипероднородной модели некоторой теории существование других гипероднородных моделей этой теории? В той же работе было отмечено, что самим М. Морли был построен пример теории в конечном языке, которая имеет гипероднородную модель мощности , но не имеет счетных гипероднородных моделей. Но этот пример указан без каких-либо деталей и неизвестно, опубликован ли он. В качестве решения возникающих вопросов построена теория в конечном языке, которая имеет единственную гипероднородную модель, причем эта модель имеет мощность . Это прямо решает вопрос,поставленный Морли, и одновременно усиливает свойства неопубликованного примера Морли.

Естественно возникает вопрос о возможной мощности абсолютно однородной модели. Исследован частный случай этого вопроса для абсолютно однородных деревьев с заданными на нем -унарными предикатами, где -некоторый кардинал. Доказано что точная верхняя грань для мощностей абсолютно однородных -цветных деревьев есть .

8. Модельные и почти модельные компаньоны. Рассмотрен ряд вопросов,связанных с однородными моделями и их автоморфизмами [14]. Среди них, важным является вопрос о существовании модельного компаньона для различных теорий структур с автоморфизмом.

Дадим более точные определения. Пусть - некоторая теория. Обозначим через теорию класса моделей , где модель теории , и . Вместе с обычным понятием модельного компаньона мы будем рассматривать понятие почти модельного компаньона, которое получается, если рассматривать только расширения вида , где . Такое понятие имеет смысл, если исходная теория полна. Заметим, что если теория модельно полна, то почти модельный компаньон теории совпадает с ее модельным компаньоном. Но в общем случае это не так. Теория может иметь модельный компаньон, но не иметь почти модельного компаньона, если она не является модельно полной.

Изучен вопрос о существовании модельного компаньона теории такого вида. Этот вопрос приобрел актуальность после того, как Макинтайр доказал, что теория полей с автоморфизмом имеет модельный компаньон, обозначаемый , а Хрушовски использовал свойства для решения некоторых тонких проблем диофантовой геометрии.

Получены некоторые условия несуществования модельного и почти модельного компаньона, применение которых в конкретных ситуациях дает важные результаты. Таким путем доказано, что если - теория линейного порядка, то не имеет модельного компаньона, и если есть полная теория некоторого линейного порядка, то не имеет почти модельного компаньона. Рассмотрен еще один класс теорий. Полная теория называется о-минимальной, если является обогащением теории линейного порядка таким, что для любой модели теории любое -определимое подмножество в есть объединение конечного числа интервалов. Доказано что если теория о-минимальна, то не имеет почти модельного компаньона, и если -- полная стабильная теория со свойством конечного покрытия, то не имеет почти модельного компаньона.

Полученные результаты о несуществовании ограничивают класс теорий, к которым применимы методы модельных и почти модельных компаньонов.

9. Генерические автоморфизмы. Теперь перейдём к генерическим автоморфизмам моделей теорий первого порядка, а также рассмотрим некоторые обобщения этого понятия. Здесь представлены результаты полученные К.Ж. удайбергеновым в работах [15], [16],[17].

Автоморфизм модели называется генерическим, если модель экзистенциально замкнута. Упоминавшийся выше вопрос о существовании модельного компаньона для теорий структур с автоморфизмом оказывается тесно связанным с вопросом об аксиоматизируемости классов структур с генерическим автоморфизмом. Это показывает важность изучения генерических автоморфизмов.

Мы вводим более общее понятие почти генерического автоморфизма, которое обладает тем преимуществом, что любая полная теория имеет модель с почти генерическим автоморфизмом. Доказаны теоремы существования для почти генерических автоморфизмов. В случае моделей теории полей описаны группы Галуа некоторых расширений неподвижного поля почти генерического автоморфизма стабильного поля. В частности, упомянутый выше результат Макинтайра о неподвижном поле генерического автоморфизма алгебраически замкнутого поля обобщен на сепарабельно замкнутые поля.

Теперь мы вводим еще более общее понятие генеричности, названное -генеричностью, которое отражает специфику класса однородных моделей. В случае, когда - конечная диаграмма насыщенной модели, мы получаем понятие почти генерического автоморфизма. Мы также распространяем понятие -генеричности на последовательности автоморфизмов. В связи с этим заметим, что -генерическая последовательность автоморфизмов --- это более сильное понятие, чем последовательность -генерических автоморфизмов.

Описаны условия существования обобщенно генерических автоморфизмов и генерических последовательностей автоморфизмов. В частности, доказано, что любая счетная модель произвольной счетной теории имеет счетное однородное элементарное расширение , которое обладает -генерической последовательностью автоморфизмов длины .

Возникает вопрос об описании группы, порожденной обобщенно генерическими автоморфизмами однородной модели. Оказывается, что эта группа совпадает с группой всех автоморфизмов модели. Более того, группа, порожденная обобщенно генерическими последовательностями фиксированной (не слишком большой) длины совпадает с соответствующей декартовой степенью группы всех автоморфизмов.

В последнее время генерические автоморфизмы привлекают большое внимание специалистов по теории моделей и алгебре. В частности, Макинтайр доказал, что неподвижное поле генерического автоморфизма алгебраически замкнутого поля псевдоконечно и, тем самым, регулярно замкнуто. После этого К.Ж. Кудайбергенов доказал, что неподвижное поле почти генерического автоморфизма сепарабельно замкнутого поля регулярно замкнуто. Вместе с тем, доказан более сильный факт о том что неподвижное поле любой конечной генерической последовательности автоморфизмов сепарабельно замкнутого поля регулярно замкнуто.

10. Свойства малого индекса группы автоморфизмов. Свойство малого индекса является одним из важных топологических свойств группы автоморфизмов. Это свойство изучалось различными авторами, как для конкретных алгебраических систем, так и в общей теоретико-модельной постановке, а именно, для насыщенных моделей. Свойство малого индекса для группы автоморфизмов однородной модели исследовано К.Ж. Кудайбергеновым. Найдены условия, при которых группа автоморфизмов однородной модели имеет свойство малого индекса. В качестве следствия доказано, что если - нормальная однородная модель слабо минимальной теории, причем мощность модели является сильно недостижимым кардиналом, превосходящим мощность теории, то имеет свойство малого индекса, и группа автоморфизмов модели не является объединением -цепи собственных подгрупп.

11.

m-e-karnauhovu-virazhaem-glubokuyu-blagodarnost-za-okazannuyu-pomosh-v-izdanii-dannoj-knigi-svetlane-petrovne-chernishovoj-rukovoditelyu-obshestvennoj-organizacii-dom-proektov-stranica-12.html
m-e-kichenko-vrabote-nad-otchetom-prinyali-uchastie.html
m-e-omelyanovskogo-izdanie-vtoroe-stereotipnoe-stranica-2.html
m-e-omelyanovskogo-izdanie-vtoroe-stereotipnoe-stranica-7.html
m-e-saltikov-shedrin-kak-grazhdanin-otlichalsya-chestnostyu-chelovekolyubiem-obostrennim-chuvstvom-spravedlivosti-i-na-gosudarstvennoj-sluzhbe-i-v-tvorchestve-on-vistupal-narodnim-zashitnikom-vborbe-za-dostojnuyu-zhizn.html
m-e-sandomirskij-zashita-ot-stressa-stranica-15.html
  • lecture.bystrickaya.ru/am-gorkij-uchebnoe-posobie-predislovie-k-uchebnomu-posobiyu-vozniknovenie-i-razvitie-russkoj-zhurnalistiki-v-xviii-veke.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/sergej-gukasov-misli-o-gr-sav-skovorode-stranica-11.html
  • uchit.bystrickaya.ru/statisticheskij-analiz-roznichnogo-tovarooborota-zapasov-i-oborachivaemosti-tovarov-chast-8.html
  • institut.bystrickaya.ru/tema-issledovatelskaya-deyatelnost-uchitelya-i-uchashihsya-v-usloviyah-profilnoj-napravlennosti-obucheniya.html
  • school.bystrickaya.ru/esli-mozhno-zastavit-pepelnicu-saditsya-i-vstavat-to-poverish-chto-zastavish-lyubogo-cheloveka-sdelat-chto-ugodno.html
  • books.bystrickaya.ru/byulleten-novih-postuplenij-v-otdel-yuridicheskoj-literaturi-maj-sentyabr-2009-g.html
  • testyi.bystrickaya.ru/51-betoni-metodicheskie-ukazaniya-k-izucheniyu-kursa-i-kontrolnie-zadaniya-dlya-studentov-stroitelnih-specialnostej.html
  • textbook.bystrickaya.ru/i-i-mechnikova-25-aprelya-2006-g-stranica-13.html
  • turn.bystrickaya.ru/oficialno.html
  • pisat.bystrickaya.ru/teplij-tip-recenzenti-e-v-gruzdova-kand-ped-nauk-rukovoditel-nauchno-metodicheskogo-otdela-ao-ippk-ro-n.html
  • desk.bystrickaya.ru/osobennosti-vedeniya-buhgalterskogo-ucheta-po-kazahstanskim-standartam-stranica-4.html
  • pisat.bystrickaya.ru/srednevekovie-goroda-na-uchastke-velikogo-shelkovogo-puti-ot-taraza-do-aspari-07-00-06-arheologiya.html
  • control.bystrickaya.ru/biryukov-s-a-cifrovie-ustrojstva-na-mop-integralnih-shemah.html
  • znanie.bystrickaya.ru/66-sredstva-svyazi-generalnij-plan-municipalnoe-obrazovanie-gorod-orenburg-materiali-po-obosnovaniyu-materiali.html
  • otsenki.bystrickaya.ru/ris-121-ortopedicheskaya-nevrologiya.html
  • education.bystrickaya.ru/2-vvedenie-programma-zhasil-damu-na-2010-2014-godi-astana-2010-god.html
  • bukva.bystrickaya.ru/pozharobezopasnost-vipusk-12-iyun-2010g.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vbb3-po-kakvo-se-razlichava-bibliyata-ot-vsichki-ostanali-knigi-v-svetovnata-literatura.html
  • literature.bystrickaya.ru/d-n-laptev-i-dr-funkcionalnaya-diagnostika-2006-n-c-26-32.html
  • textbook.bystrickaya.ru/higher-education-in-the-usa-metodicheskie-ukazaniya-po-razvitiyu-navikov-ustnoj-i-pismennoj-rechi-dlya-studentov-mladshih.html
  • nauka.bystrickaya.ru/vozniknovenie-filosofii-na-fone-mifa-stranica-18.html
  • zanyatie.bystrickaya.ru/nebezpechn-situac-mirnogo-chasu-bezpeka-naselennya.html
  • occupation.bystrickaya.ru/ob-otchetno-vibornoj-kampanii-v-otrasli-energetiki.html
  • credit.bystrickaya.ru/plotini-betonnie-i-zhelezobetonnie-snip-06-06-85-stranica-3.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/sizajcev-zasedanie-1.html
  • literatura.bystrickaya.ru/rukovodstvo-po-depovskomu-remontu-cv-587-ot-21-avgusta-1998-goda-gruzovie-vagoni-zheleznih-dorog-kolei-1520-mm.html
  • portfolio.bystrickaya.ru/planirovanie-po-programme-pod-red-v-ya-korovinoj-koncentricheskaya-struktura.html
  • institute.bystrickaya.ru/filosofskie-motivi-v-lirike-as-pushkina-na-primere-3-4-stihotvorenij-po-viboru-ekzamenuemogo.html
  • control.bystrickaya.ru/bezkorpusnaya-germetizaciya-poluprovodnikovih-priborov-chast-17.html
  • lecture.bystrickaya.ru/4-metodi-ispolzovaniya-slova-i-sredstv-naglyadnogo-vozdejstviya-v-processe-fizicheskogo-vospitaniya.html
  • report.bystrickaya.ru/kliniko-instrumentalnaya-harakteristika-i-faktori-riska-formirovaniya-essencialnoj-arterialnoj-gipertenzii-u-podrostkov.html
  • nauka.bystrickaya.ru/uroka-po-anglijskomu-yaziku-klass-10-forma-zashita-proekta-school-poster.html
  • paragraph.bystrickaya.ru/linejnoe-raspredelenie-otvetov-na-voprosi-anketi.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tema-uroka-kol.html
  • institut.bystrickaya.ru/tematicheskij-plan-prakticheskih-zanyatij-po-intensivnoj-terapii-i-reanimatologii-dlya-studentov-y.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.